Prof(a): Marisabel Leon
Victor Urbina CI: 21.370.446
Trayecto 1
Sección 1
"Conjuntos Numéricos"
Los conjuntos numéricos son agrupaciones de números que guardan una serie de propiedades estructurales.[cita requerida] Sus características estructurales más importantes son:
- Dotados de operadores, admiten estructura algebraica estable
- Están dotados de propiedades topológicas (o pueden llegar a estarlo)
- Admiten relación de orden
- Admiten relación de equivalencia
- Son representables mediante diagramas de Hasse, diagramas de Euler y diagramas de Venn, pudiéndose tomar una combinación de ambos en un diagrama de Euler-Venn con la forma característica de cuadrilátero y además pudiéndose representar internamente un diagrama de Hasse (es una recta).
- Todos los conjuntos numéricos se construyen desde una estructura más simple hasta otra más compleja.
N = Conjunto de los Números Naturales
N = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,.......}
El conjunto de los Números Naturales surgió de la necesidad de contar, lo cual se manifiesta en el ser humano desde sus inicios.
Este conjunto se caracteriza porque:
Tiene un número ilimitado de elementos
Cada elemento tiene un sucesor y todos, excepto el 1, un antecesor.
El sucesor de un número natural se obtiene sumando uno (+1); el antecesor se obtiene restando uno (-1).
El sucesor de un número natural se obtiene sumando uno (+1); el antecesor se obtiene restando uno (-1).
Con los números naturales contamos los elementos de un conjunto (número cardinal). O bien expresamos la posición u orden que ocupa un elemento en un conjunto (ordinal).
El conjunto de los números naturales está formado por:
N= {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,...}
La suma y el producto de dos números naturales es otro número natural.
La diferencia de dos números naturales no siempre es un número natural, sólo ocurre cuando el minuendo es mayor que sustraendo.
5 − 3 
3 − 5 
El cociente de dos números naturales no siempre es un número natural, sólo ocurre cuando la división es exacta.
6 : 2
2 : 6
Podemos utilizar potencias, ya que es la forma abreviada de escribir un producto formado por varios factores iguales.
La raíz de un número natural no siempre es un número natural, sólo ocurre cuando la raíz es exacta.
N* = N0 = Conjunto de los Números Cardinales
N 0 = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,.....}
Al Conjunto de los Números Naturales se le agregó el 0 (cero) y se forma el Conjunto de los Números Cardinales.
Z = Conjunto de los Números Enteros
Z = { ..... –3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,...}
El Conjunto de los Números Enteros surge de la necesidad de dar solución general a la sustracción, pues cuando el sustraendo es mayor que el minuendo, esta sustracción no tiene solución en los Conjuntos Naturales y Cardinales (por ejemplo: 5 – 20 = ¿?). Debido a esto, la recta numérica se extiende hacia la izquierda, de modo que a cada punto que representa un número natural le corresponda un punto simétrico, situado a la izquierda del cero. Punto simétrico es aquel que está ubicado a igual distancia del cero (uno a la derecha y el otro a la izquierda de él).
Z = N* U Conjunto de los Números Enteros negativos
Z = Tiene 3 Subconjuntos:
Enteros Negativos: Z ¯
Enteros Positivos: Z +
Enteros Positivos y el Cero: Z 0+
Por lo tanto, el Conjunto de los Números Enteros es la unión de los tres subconjuntos mencionados.
Z = Z ¯ U {0} U Z +
Los números enteros son del tipo:
= {...−5, −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5 ...}
Nos permiten expresar: el dinero adeudado, la temperatura bajo cero, las profundidades con respecto al nivel del mar, etc.
La suma, la diferencia y el producto de dos números enteros es otro número entero.
El cociente de dos números enteros no siempre es un número entero , sólo ocurre cuando la división es exacta.
6 : 2
2 : 6
Podemos operar con potencias, pero el exponente tiene que ser un número natural.
La raíz de un número entero no siempre es un número entero, sólo ocurre cuando la raíz es exacta o si se trata de una raíz de índice par con radicando positivo.
. 
Q = Conjunto de los Números Racionales
Q = {....- ¾, - ½, - ¼ , 0, ¼ , ½, ¾,.....}
El conjunto de los Números Racionales se creó debido a las limitaciones de cálculo que se presentaban en el conjunto de los Números Naturales, Números Cardinales y Números Enteros. Por ejemplo, sólo se puede dividir en el conjunto de los Números Enteros si y sólo si el dividendo es múltiplo, distinto de cero, del divisor. Para solucionar esta dificultad, se creó este conjunto, el cual está formado por todos los números de la forma a / b. Esta fracción en la cual el numerador es a, es un número entero y el denominador b, es un número entero distinto de cero.
El conjunto de los Números Racionales (Q ) se ha construido a partir del conjunto de los Números Enteros (Z).
Se expresa por comprensión como:
Q = { a / b tal que a y b 
Z; y b 
0 }
Z; y b 0 }
Este conjunto se representa gráficamente, dividiendo cada intervalo de una recta numérica en espacios iguales, que representen números enteros. Cada una de estas subdivisiones representa una fracción con denominador igual al número de partes de la subdivisión.
Cada fracción es un número racional y cada número racional consta de infinitas fracciones equivalentes.
Se llama número racional a todo número que puede representarse como el cociente de dos enteros, con denominador distinto de cero.
Los números decimales (decimal exacto, periódico puro y periódico mixto) son números racionales; pero los números decimales ilimitados no.
La suma, la diferencia , el producto y el cociente de dos números racionales es otro número racional.
Podemos operar con potencias, pero el exponente tiene que ser un número entero.
La raíz de un número racional no siempre es un número racional, sólo ocurre cuando la raíz es exacta y si el índice es par el radicando ha de ser positivo.
Q* = Conjunto de Números Irracionales
I = Conjunto de Números Decimales Infinitos no Periódicos
Este conjunto surgió de la necesidad de reunir a ciertos números que no pertenecen a los conjuntos anteriores; entre ellos se pueden citar a las raíces inexactas, el número Pi, etc. A él pertenecen todos los números decimales infinitos puros, es decir aquellos números que no pueden transformarse en una fracción. No deben confundirse con los números racionales, porque éstos son números decimales finitos, infinitos periódicos e infinitos semiperiódicos que sí pueden transformarse en una fracción.
Ejemplos: 1,4142135....
0,10200300004000005....
Un número es irracional si posee infinitas cifras decimales no periódicas, por tanto no se pueden expresar en forma de fracción.
El número irracional más conocido es 
, que se define como la relación entre la longitud de la circunferencia y su diámetro.
, que se define como la relación entre la longitud de la circunferencia y su diámetro. = 3.141592653589...
Otros números irracionales son:
El número e aparece en procesos de crecimiento, en la desintegración radiactiva, en la fórmula de la catenaria, que es la curva que podemos apreciar en los tendidos eléctricos.
e = 2.718281828459...
El número áureo, 
, utilizado por artistas de todas las épocas (Fidias, Leonardo da Vinci, Alberto Durero, Dalí,..) en las proporciones de sus obras.
, utilizado por artistas de todas las épocas (Fidias, Leonardo da Vinci, Alberto Durero, Dalí,..) en las proporciones de sus obras.
Números Reales
Se representan con la letra 
.
.
El conjunto de los Números Reales () está integrado por:
) está integrado por:
• El conjunto de los Números Racionales (
) que corresponden a la unión de todos los números cuya expresión decimal es finita, infinita periódica o infinita semiperiódica.
• El conjunto de los Números Irracionales (I) que está formado por la unión de todos los números que admiten una expresión infinita no periódica.
) que corresponden a la unión de todos los números cuya expresión decimal es finita, infinita periódica o infinita semiperiódica. • El conjunto de los Números Irracionales (I) que está formado por la unión de todos los números que admiten una expresión infinita no periódica.
Entonces, se llaman Números Reales a todos aquellos que se pueden expresar en forma decimal finita o infinita; es decir, el conjunto de los Números Reales () está formado por los elementos del conjunto unido con I .
) está formado por los elementos del conjunto unido con I .
El siguiente cuadro es ilustrativo:
Todos los números reales pueden ser representados en la recta numérica.
A cada punto de la recta numérica le corresponde un número real y viceversa; es decir, existe una correspondencia uno a uno entre los puntos de la recta numérica y los números reales.
Importante:
Con números reales pueden realizarse todo tipo de operaciones básicas con dos excepciones importantes:
1.- No existen raíces de orden par (cuadradas, cuartas, sextas, etc.) de números negativos en números reales, razón por la cual existe el conjunto de los números complejos donde estas operaciones sí están definidas.
2.- No existe la división entre cero, pues carece de sentido dividir entre nada o entre nadie; es decir, no existe la operación de dividir entre nada.
En otras palabras, no son reales las fracciones con denominador cero y las raíces de índice par y radicando negativo.
Infinito no es un número real
Infinito no es un número real, es una idea. Una idea de algo que no termina.
Recuerde, además, que cualquier fracción con numerador cero, tiene como resultado final, el cero (cero dividido cualquier cosa es igual a cero).
Vea el siguiente vídeo.
Ejercicios:
Indica a cual o cuales de los siguientes conjuntos pertenecen los números de la izquierda de la tabla con una marca de cotejo:
Número/Conjunto numérico
|
Natural
|
Cardinal
|
Entero
|
Racional
|
Irracional
|
Real
|
11
| ||||||
-7
| ||||||
0
| ||||||
¾
| ||||||
0.272727…
| ||||||
7.25
| ||||||
2.7985413…
| ||||||
1½
| ||||||
 | ||||||
 |
Identifica la propiedad en cada enunciado:
- 7 + 5 = 5 + 7 ____________________________________________
- 3 + (5 + 2) = 3 + (2 + 5) ____________________________________
- (6 x 3) x 1 = 6 x (3 x 1) _____________________________________
- 5(3 + 2) = 5(3) + 5(2) ______________________________________
- 7 x 1 = 7 __________________________________________________
- 11 + 0 = 11 ________________________________________________
- 9 + -9 = 0 _________________________________________________
- 2 x ½ = 1 __________________________________________________
vea el siguiente video
buena informacion
ResponderEliminarMuchas gracias, me ayudó mucho
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